In der Physik sind Erhaltungssätze weit mehr als nur mathematische Regeln. Sie sind ein grundlegendes Werkzeug zur Beschreibung physikalischer Systeme und zeigen nicht nur auf, was in einem solchen System passiert, sondern auch, welche Entwicklungen unmöglich sind - so etwas wie die unsichtbaren Leitplanken unseres Universums. Etwas Ordnung im Chaos.
Das Standardbeispiel für Erhaltungssätze aus der klassischen Physik ist die fallende Birne - oder so ähnlich. Grundlegender Ansatz ist die Energieerhaltung - Lageenergie (Birne auf Baum) wird in Bewegungsenergie (Birne fällt zu Boden) umgewandelt, die Gesamtenergie bleibt erhalten. Die mathematische Beschreibung - hergeleitet als eine einzelne lineare Differenzialgleichung (hier nur erwähnt für den danach folgenden Kontext) - führt zu einer stabilen und intuitiven Lösung: Eine Änderung der Fallhöhe geht einher mit einer Änderung der Aufprallgeschwindigkeit. Bezieht man die Luftreibung in Abhängigkeit von der Fallgeschwindigkeit mit ein, so wird die zugrundeliegende Differenzialgleichung nichtlinear, die Berechnung wird ein wenig komplizierter, das System bleibt jedoch trotzdem gut berechenbar und intuitiv.
Die Ordnung im Chaos ist etwas schwerer zu finden in der Beschreibung der Dynamik der Erdatmosphäre, wo Chaos nicht nur ein abstrakter Begriff aus der antiken griechischen Mythologie ist, sondern als naturwissenschaftliches Konzept die Grenzen der Vorhersagbarkeit beschreibt. Dem zugrunde liegen in der mathematischen Beschreibung der Atmosphärendynamik - im Vergleich zur fallenden Birne - ein ganzer Satz an gekoppelten, nicht-linearen Differenzialgleichungen. Die zu berechnenden Größen in diesen Gleichungen beeinflussen sich gegenseitig in komplexen Rückkopplungsschleifen. Das macht das System nicht nur sehr schwer berechenbar und unintuitiv, sondern führt auch zu einer teils extremen Sensitivität den Anfangsbedingungen gegenüber - kleine Änderungen im Grundzustand können zu völlig verschiedenen Lösungen des Systems führen.
Die Erhaltung von Masse und Energie fließt auch in die mathematische Beschreibung der Atmosphärendynamik mit ein, führt hier jedoch nicht unmittelbar zu einer einfacher nachvollziehbaren Beschreibung der Luftmassenbewegungen. Auf der Suche nach Erhaltungsgrößen mit interpretierbaren Eigenschaften werden generell Annahmen zur Vereinfachung des beschriebenen Systems getroffen. Der geneigten Thema-des-Tages-Leserschaft ist vielleicht schon häufiger die sogenannte Vorticity begegnet, ein mathematischer Ausdruck für die Wirbelhaftigkeit von Strömungen. Bildet man die Summe aus der der Strömung inhärenten (relativen) Vorticity und der durch die Rotation der Erde gegebenen (planetaren) Vorticity, so ist diese unter bestimmten Bedingungen - insbesondere der Annahme von Barotropie - erhalten. Daraus ergeben sich erstaunlich intuitive Lösungsansätze für die großskalige Dynamik in der Atmosphäre, die Ausbildung von Rossby-Wellen durch das Wechselspiel von relativer und planetarer Vorticity.
Eine Erhaltungsgröße lässt sich als Zusammenspiel der zugrunde liegenden Annahmen, unter denen sie gültig ist, und ihrer mathematischen Komplexität verstehen. Je weniger restriktiv die Annahmen sind, desto komplexer ist in der Regel die entsprechende Erhaltungsgröße - wenn sich denn eine finden lässt. In diesem Sinne erkaufen wir uns die Verallgemeinerung auf dreidimensionale Strömungen in einer baroklinen (nicht-barotropen) Atmosphäre durch eine etwas komplexere Erhaltungsgröße - die potenzielle Vorticity, oder PV.
Die potenzielle Vorticity lässt sich "vereinfacht" als eine Kombination aus drei Dingen verstehen: der Wirbelhaftigkeit der Luft, der Dichte- bzw. Temperaturschichtung der Atmosphäre und der Dehnung oder Stauchung von Luftpaketen. Anschaulich gesprochen beschreibt die PV, wie sich ein Luftpaket dreht und wie es in der vertikalen Struktur der Atmosphäre eingebettet ist.
Ihre besondere Stärke liegt darin, dass sie unter vielen realistischen Bedingungen erhalten bleibt und damit entlang der Strömung mitgeführt wird. Gleichzeitig trägt sie selbst einen wesentlichen Teil der dynamischen Eigenschaften der Strömung in sich und beschreibt diese gewissermaßen mit. Die PV reduziert somit komplexe Strömungsmuster auf eine einzelne Größe - eine Art Fingerabdruck von Luftmassen, mit dem sich großräumige Entwicklungen in der Atmosphäre besser verstehen lassen.
Die versprochene farbenfrohe Animation zeigt die Entwicklung der potenziellen Vorticity (PV) im Verlauf dieser Woche, berechnet aus Modelldaten des deutschen ICON-Modells. Dargestellt ist die PV auf einer sogenannten isentropen Fläche, also einer Fläche konstanter potenzieller Temperatur. Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, gilt: Die Bewegung von Luftmassen entlang solcher Flächen ist eine der zentralen Annahmen, unter denen die PV auf den betrachteten Skalen näherungsweise erhalten bleibt. Glücklicherweise ist diese Annahme kaum einschränkend, da Luftmassen auf diesen Skalen nur wenig Wärme mit ihrer Umgebung austauschen und sich daher ohnehin weitgehend entlang isentroper Flächen bewegen.
Die Animation macht sichtbar, wie PV mit der Höhenströmung verfrachtet wird – die hier betrachtete 320-Kelvin-Isentrope liegt im Bereich der oberen Troposphäre und unteren Stratosphäre. Dabei wird hohe PV durch großskalige Wellen in der Höhenströmung in Richtung Äquator transportiert. Beim Brechen dieser Wellen entstehen charakteristische PV-Filamente sowie abgeschlossene PV-Anomalien, wie hier über dem Atlantik zu erkennen ist. Die hohen PV-Werte dieser Anomalie geben nicht nur Hinweise auf die Herkunft der Luftmasse, sondern sind – über die Vorticity – auch mit einem zyklonalen Windfeld verknüpft. Das zeigt sich in der gegen den Uhrzeigersinn gerichteten Rotation der Anomalie.
Um den Rahmen nicht zu sprengen müssen wir es leider vorerst bei dieser Motivation und grundlegenden Einführung der PV belassen. Warum sie im Grundzustand in hohen Breiten hohe Werte aufweist und Richtung Äquator niedrige, was das mit der Lage der Tropopause zu tun hat, und wie und warum man PV Strukturen in Satellitenbildern erkennen kann erläutern wir an dieser Stelle in einem folgenden Thema des Tages.